电磁场

• 磁->电：电磁感应定律
• 电->磁：全电流定律

电磁感应定律

1. $$e = -\frac{d\Phi}{dt}$$（感应电动势 = 磁通变化率）
   • 磁通变化 -> 产生感应电流 -> 说明存在感应电压 -> 磁生电
   • 右手定则判断方向
2. 类型
   • 感生电动势（磁通变化）

     • $$e = \frac{d(B\cdot S)}{dt}$$

   • 动生电动势（导体切割磁力线）

     • $$e = B\cdot L\cdot v$$

3. 感应电场

   • $$e = e_{\text{感}} + e_{\text{动}}$$

     • 由变化的磁场激发，存在空间任意一点
     • 闭合曲线，无头无尾

全电流定律

• 全电流 I = 传导电流 + 位移电流

• $$\oint H\cdot dl = \int J\cdot dS$$

  • 推导：$$\oint H\cdot dl = \int (J_{传导} + J_{位移})\cdot dS$$
  • 传导电流是源自带电流
  • 位移电流是场生电流

    • $$J_{位移} = \frac{\partial D}{\partial t}$$

小结

1. $$E = E_{\text{感}} + E_{\text{动}}$$

   • 积分形式：$$\oint E\cdot dl = -\frac{d}{dt}\int B\cdot dS + \int (v\times B)\cdot dl$$
   • 微分形式：$$\nabla\times E = -\frac{\partial B}{\partial t} + \nabla\times(v\times B)$$

2. $$J_{位移} = \frac{\partial D}{\partial t}$$

   • 积分形式：$$\oint H\cdot dl = \int (J + J_D)\cdot dS$$

     • $$J_D = \frac{\partial D}{\partial t}$$

   • 微分形式：$$\nabla\times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$$

电磁场基本方程

1. 积分形式

   • $$\oint H\cdot dl = \int (J + \frac{\partial D}{\partial t})\cdot dS$$

   • $$\oint E\cdot dl = -\int \frac{\partial B}{\partial t}\cdot dS$$

   • $$\oint B\cdot dS = 0$$

   • $$\oint D\cdot dS = q$$

2. 微分形式

   • $$\nabla\times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$$

   • $$\nabla\times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$$

   • $$\nabla\cdot B = 0$$

   • $$\nabla\cdot D = \rho$$

3. 媒质特性

   • $$D = \varepsilon E$$

   • $$B = \mu H$$

   • $$J = \gamma E$$

边界面衔接条件

1. 切向：$$E_{1t} = E_{2t}$$
2. 切向：$$H_{1t} - H_{2t} = J_s$$
3. 法向：$$B_{1n} = B_{2n}$$
4. 法向：$$D_{1n} - D_{2n} = \sigma$$

电磁功率流和坡印廷矢量

1. 能量密度
   • 电场能量密度（J/m³）

     • $$w_e = \frac{1}{2}D\cdot E = \frac{1}{2}\varepsilon E^2$$

   • 磁场能量密度（J/m³）

     • $$w_m = \frac{1}{2}B\cdot H = \frac{1}{2}\mu H^2$$

   • 瞬时总能量密度

     • $$w = w_e + w_m = \frac{1}{2}(D\cdot E + B\cdot H)$$

2. 坡印廷矢量（电磁功率流密度，W/m²）
   • 定义

     • $$S = E\times H$$

   • 物理意义
     • 单位时间内流过垂直于能量传播方向单位面积的能量大小
     • 方向：能量流动方向，与 E、H 构成右手螺旋（垂直于 E、H 所在平面）
3. 坡印廷定理（能量守恒）
   • 由麦克斯韦方程推导出的功率平衡关系
   • 微分形式

     • $$\nabla\cdot(E\times H) = -J\cdot E - \frac{\partial w}{\partial t}$$

       • $J\cdot E$：单位体积的热损耗功率（焦耳损耗）
       • $\frac{\partial w}{\partial t}$：单位体积电磁能量增长率
   • 积分形式

     • $$\oint_S (E\times H)\cdot dS = -\int_V J\cdot E\,dV - \frac{\partial}{\partial t}\int_V w\,dV$$

   • 物理意义：单位时间内流入闭合面 S 的电磁能量 = 体积内的热损耗功率 + 电磁能量增加率（能量守恒）

老师的例题

1. 求感应电动势

• 感生电动势+动生电动势，会BS/t和BLv就行

2.，3. 两种情况

• 会求个坡印廷矢量就行

  • $$S = E\times H$$