恒定磁场

安培力定律

1. 恒定磁场
   • 恒定电流产生恒定磁场
   • 恒定磁场对运动电荷有力的作用

2. 安培力定律
   • $$F = B\cdot I\cdot L$$（电流元 l 与 B 垂直）
   • 毕奥-萨伐尔定律：$$dB = \frac{\mu}{4\pi}\cdot\frac{Idl\times\hat{r}}{r^2}$$
     • 线电流：$$B = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{Idl\times\hat{r}}{r^2}$$
     • 面电流：$$B = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{K\times\hat{r}}{r^2},dS$$
     • 体电流：$$B = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{J\times\hat{r}}{r^2},dV$$

磁通连续性原理

1. 磁通

   • $$\Phi = B\cdot S$$

   • 恒定磁场是无散场
2. 安培环路定理

   • $$\oint B\cdot dl = \mu_0 I$$

3. 介质磁化
   • 介质内有磁偶极子
     • 磁偶极子原本的方向是杂乱无章，经过磁化，方向趋于一致，产生磁化电流
       • 磁化电流的电流密度为 $J_m$
     • 磁化强度 $$M = \frac{P_m}{V}$$
       • 关联式：$$\oint M\cdot dl = J_m\cdot S$$（即磁化电流 $$I_m = \oint M\cdot dl$$）
     • 磁化电流与原本的电流叠加，影响磁感应强度

       • $$\oint B\cdot dl = \mu_0(I + I_1)$$

   • 结果

     • $$\oint B\cdot dl = \mu_0(I + I_1)$$

     • $$I_1 = \oint M\cdot dl$$

       • $$\oint B\cdot dl = \mu_0(I + \oint M\cdot dl)$$

         • $$B = \mu_0(H + M)$$... 见下
   • 磁场强度 H

     • $$H = \frac{B}{\mu_0} - M$$

   • 一般情况的安培环路定律

     • $$\oint H\cdot dl = I$$

4. 磁导率 μ
   • $$B = \mu_0(H + M)$$，其中 $$M = \chi_m H$$

   • $$\mu = \mu_0(1 + \chi_m) = \mu_0\mu_r$$

     • $\mu_r = 1 + \chi_m$：相对磁导率，$\chi_m$ 为磁化率
5. 基本方程
   • $$\oint B\cdot dS = 0$$（磁通连续性）
     • 微分形式：$$\nabla\cdot B = 0$$
   • $$\oint H\cdot dl = I$$（安培环路）
     • 微分形式：$$\nabla\times H = J$$
6. 边界面衔接条件

   • $$H_{2t} - H_{1t} = k$$

     • k：电流线密度

   • $$B_{1n} - B_{2n} = 0$$

磁矢位

1. 磁矢位 A
   • $$\nabla\cdot B = 0 \rightarrow B = \nabla\times A$$（磁矢位自动满足磁通连续性）
   • $$\nabla\times H = J$$，$$B = \mu H$$

     • $$\nabla\times B = \mu J \rightarrow \nabla\times(\nabla\times A) = \nabla^2 A = -\mu J$$

   • A 满足的泊松方程：$$\nabla^2 A = -\mu J$$
   • A 的计算公式
     • 线电流：$$A = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{Idl}{r}$$
     • 面电流：$$A = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{K}{r},dS$$
     • 体电流：$$A = \frac{\mu}{4\pi}\int\frac{J}{r},dV$$
2. 边值问题
   • 衔接条件1：A

     • $$A_{1n} = A_{2n}$$

     • $$A_{1t} = A_{2t}$$

     • A 在分界面上连续
   • 衔接条件2：

     • $$H_{2t} - H_{1t} = k$$

     • $$\frac{(\nabla\times A_1)_t}{\mu_1} - \frac{(\nabla\times A_2)_t}{\mu_2} = k$$

   • 求解

     • $$\nabla^2 A = -\mu J$$

     • 边界条件
     • 两个衔接条件

标量磁位

1. 磁位
   • 无电流区（$$\nabla\times H = 0$$）：$$H = -\nabla\varphi_m$$

     • $$B = \mu H$$

       • $$\nabla^2\varphi_m = 0$$（拉普拉斯方程）

镜像法

• 与静电场的镜像法一模一样

电感

1. 电感

   • $$自感：L = \frac{\Psi}{I} = \frac{N\cdot\Phi}{I}$$

     • $$单匝线圈：L = \frac{\Phi}{I} = \frac{B\cdot S}{I}$$

     • $$多匝线圈：L = \frac{N\cdot B\cdot S}{I}$$

2. 磁链
   • $$\Psi = N\Phi$$（磁链 = N × 磁通）
3. 电感计算

   • $$设 I -> \oint H\cdot dl = I -> H -> B = \mu H -> \Phi = B\cdot S -> \Psi = N\Phi -> L = \frac{\Psi}{I}$$

4. 互感

   • $$M_{12} = M_{21}$$

   • 计算方法与求自感一样

磁场能量与力

1. 磁场能量
   • 单线圈：$$W = \frac{1}{2}L\cdot I^2$$
   • 多线圈：$$W = \frac{1}{2}L_1I_1^2 + \frac{1}{2}L_2I_2^2 + M\cdot I_1\cdot I_2$$
     • $$\frac{1}{2}L\cdot I^2$$ -> 自有能
     • $$M\cdot I_1\cdot I_2$$ -> 互有能
2. 能量密度

   • $$w = \frac{1}{2}B\cdot H$$

3. 磁场力
   • 和静电场的一样，用虚位移法求解就行

老师的例题

1. 求B(√)

• 长度2l，载流电流I的导线，求与导线中心垂直的方向上距离x的点P的磁感应强度
  • 积分法求磁感应强度

2. 求H,B,M(√)

• 同轴电缆(半径a,b,c)，a区域电流I，c区域电流-I，ac区域u0，b区域为u
  • 用 $\oint H\cdot dl = I$，$B = \mu H$，$M = \frac{B}{\mu_0} - H$ 求

3. 叠加法(√)

• 和场强那个一样的图，求磁场B

4. 求磁矢位和磁密(考试前临时看看)

• $$\nabla^2 A = \mu J$$

5. 求自感

• $\oint H\cdot dl = I$
  • $B = \mu H$
    • 磁通 = $B\cdot S$
      • $L = \frac{\Phi}{I}$

6. 求互感

• 同5

7. 求磁场能量

• $$w = \frac{1}{2}B\cdot H$$

  • 求出B就行