恒定电场

• 这一章会用两种方法求电导就行

公式总结

1. $$J\cdot S = I$$

2. $$\alpha\cdot E = J$$

3. $$J\cdot E = P$$

1-1

电流

1. 电流

   • $$I = \frac{q}{t}$$

2. 电流密度与元电流
   • 元电流：
     • 线: $$I$$
     • 面: $$dI = K\cdot dl$$
     • 体: $$dI = J\cdot dS$$

       • $$J = \frac{I}{S} = n\cdot q\cdot v$$

       • （n 为载流子数密度，q 为单个电荷，v 为漂移速度）
   • 线电流 = 面电流/l = 体电流/S

1-2

欧姆定律与焦耳定律

1. 欧姆定律的微分形式

   • $$U = IR$$

     • $$R = \frac{l}{\gamma S}$$（γ 为电导率）

     • $$I = J\cdot S$$

       • $$J = \gamma E$$

2. 焦耳定律的微分形式

   • $$W = F\cdot L$$

     • $$F = qE$$

     • $$W = F\cdot L = q\cdot E\cdot v\cdot t\cdot N$$

       • N 表示电荷数量

       • $$J = N\cdot q\cdot v$$

       • 所以：$$W = J\cdot E\cdot v\cdot t$$

     • $$w_e = J\cdot E$$

电源电动势和局外场强(没啥用)

1. 电源能量
   • 电源：将电能转换为其他能量
   • 外力：将其他能量转换为电能
   • $$E_e = \frac{F_外}{q}$$（Eₑ 为局外场强）
   • $$\varepsilon = E_e\cdot l$$（电源电动势）

电流连续性方程

1. 电荷守恒
   • 单位时间，区域流出电荷量 = 区域内的减少量

   • $$\oint J\cdot dS = 0$$

   • $$\nabla\cdot J = 0$$（微分形式）
2. 恒定电场的基本方程

   • $$\oint J\cdot dS = 0$$

     • 微分形式：$$\nabla\cdot J = 0$$

   • $$\oint E\cdot dl = 0$$

     • 微分形式：$$\nabla\times E = 0$$
   • 两种情况
     • 路径含有电源：$$\oint (E+E_e)\cdot dl = 0$$
     • 路径不含电源：$$\oint E\cdot dl = 0$$
     • 电源电动势 ε
3. 分界面的衔接条件

   • $$E_{1t} = E_{2t}$$

   • $$J_{1n} = J_{2n}$$

   • $$\frac{\tan\alpha_1}{\tan\alpha_2} = \frac{\gamma_1}{\gamma_2}$$

   • 导体内，E、J 只有切线方向，没有法向方向
   • 由良导体到不良导体，电流方向由切向经过折射几乎变为法向方向，电导率差别过大，达 10 的 8 次方
4. 边值问题
   • 和静电场的三种情况一样
5. 镜像法
   • 把静电场的q换成I就行，其他的完全一样

电导

1. $$G = \frac{I}{U}$$

2. 求法：
   • 设 I：$$I \to J = \frac{I}{S} \to E = \frac{J}{\gamma} \to U = E\cdot L$$
   • 设 U：$$U \to \varphi \to E = -\nabla\varphi \to J = \gamma E \to I = J\cdot S$$
     • 如果电场分布有对称性，设电流
     • 如果没有，设电压

接地电阻

1. 接地电阻实际上和求电导是一类问题
   • 可以把接地球看成一个电源，接地球与大地间会有接地电流，接地球上的电源大小未知，接地电流未知，求电导
   • 设I，求解过程与求电导一致
2. 半球
   • 这类问题用镜像法解决。不过也有通用公式

跨步电压

1. 跨步电压问题和接地电阻差不多
   • 接地球当作电源的话，对外有电流，这个电流会产生电压差
   • 这个电压差会对人体造成威胁
2. 如何求解
   • 首先假设电流

   • $$I \to J \to E \to U \to l$$

老师的例题

1. 求电导(√)

• 半径(内球a，外球b)，电导率α

2. 求电导(重要)

• 这个和其他几个不同的在于，这个是从 U -> I
• 弧片，半径(R1,R2)，两侧电压(U,0),弧度角α

接地电阻类,这类题是求电导的变种,但是题型做法单一

1. 设漏电流I
2. I = JS
3. J = γE
4. U = El
5. R = U/I

• 其实这 1 完全一样的步骤，只是接地电阻和跨步电压这两类题比较明显、典型

3. 求接地电阻(√)

• 半径a导体球，深埋地下

4. 求接地电阻(√)

• 半径a导体球，半埋地下

5. 求跨步电压(√)

• 半径a导体球，半埋地下