前置知识

方向导数

• 标量沿着某一方向的变化速度

  • $$\text{方向导数} = \text{梯度}\cdot\cos(\text{方向与梯度的夹角})$$

• 方向导数最大为 $|g|$，沿梯度方向
  • 向其他角度变化时，该方向的方向导数 = $|g|\cos(g, e)$（g 为梯度矢量，e 为方向单位向量）
• 梯度与等值面垂直

哈密顿算子

• 方向导数的运算里把公共的方向u提出来，微分的一个运算符（即 nabla 算子 ∇）

矢量场的通量和散度

1. 通量
   • 场线在规定区域的面内的有效积分
   • 如果曲面闭合成体，则入通量和出通量抵消
     • 有源，则根据通量结果判断源的类型：+/=/0
   • 例如：磁通量

     • $$\Phi = B\cdot S\cdot\sin\alpha$$

2. 散度
   • 通量在闭合曲面内，闭合区域内每一个体积点所具有的通量叫作散度
     • 散度 = 通量/体积
     • 说白了，就是每一点的通量
     • 看看这个点是矢量的+/-/0源，把原本的全局情况转换为的每一点
   • 散度处处为0：该场为无源场

环量与旋度

1. 环量
   • 矢量在闭合线上的积分，判断是否有功，是否有漩涡存在
2. 旋度
   • 在闭合线上的每一点的环量
     • 旋度 = 环量/面积
   • 是描述旋转程度的量，判断有无漩涡

两个恒等式

1. 标量的梯度的旋度 = 0

   • $$\nabla \times (\nabla\varphi) = 0$$

2. 矢量的旋度的散度 = 0

   • $$\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$$