第一章：静电场

1-1

场强

  1. 电场强度

    • F=qEF = qE

电位

  1. 电位
    • 电势高度
      • 电场力做功与路径无关，场力做功都这样，都是只与势有关，电位就是电场的势
      • 电位与电场强度一一对应，一个电位就是一个场强
  2. 电压 -> 电位差
  3. 环路定理

    • ∮E⋅dl=0\oint E\cdot dl = 0

    • 电场内绕一圈回到原点，做功为0，则对力进行闭合线积分，结果为0，则面积分为0，说明无漩涡
    • 静电场中：试探电荷绕行一周，电势不变，做功为0

1-2

导体和电介质

  1. 静电场中的导体
    • 导体内电场为0
    • 导体为等势体，内部无电场
    • 导体表明的电场垂直于导体表面
    • 导体带点的话，电荷只分部于表面
  2. 静电场中的电介质
    • 分子分为：极性分子，非极性分子
      • 非极性分子在电场作用下会产生电偶极子对（+/-）
      • 极性分子本身会具有电偶极子，无电场 -> 乱序，有电场 -> 沿着电场方向排序
    • 静电场会极化电介质，让电介质的性质趋近于导体
      • 电介质的分子在电场中极化的程度叫作电极化强度P
    • 极化电介质产生的电位 = 面电荷产生的电位+体电荷产生的电位
    • 电极化强度P：$$P = \chi\varepsilon_0 E$$
      • χ：电极化率,χ是相对于ε₀的一个系数，ε₀表示真空介电常数，χε₀表示相对于真空，电介质的电极化强度
    • 极化电荷产生的电场和原电场附加产生完整电场
      • 极化电场强度计算：把原本的电场强度公式的电荷密度 -> 极化面电荷密度+极化体电荷密度

高斯通量/散度定理

  1. 高斯定律
    • 积分形式：$$\oint E\cdot dS = \frac{q}{\varepsilon_0}$$ （面积分 = 常数）
      • 适用于电场对称情况下
      • 尽量推导一遍

    • q=q0+q极化q = q_0 + q_{极化}

    • $$D = \varepsilon_0 E$$ $$\oint D\cdot dS = q$$
      • 算上极化电荷
      • $$D = \varepsilon E = \varepsilon_0\varepsilon_r E$$（εᵣ 为相对介电常数）
    • 算静电场用的

1-3

  1. 基本方程

    • ∮D⋅dS=q\oint D\cdot dS = q

      • 微分形式：$$\nabla\cdot D = \rho$$ -> 说明静电场是有源场

    • ∮E⋅dl=0\oint E\cdot dl = 0

      • 微分形式：$$\nabla\times E = 0$$ -> 说明能量守恒

    • D=εED = \varepsilon E

  2. 边界衔接条件
    • $$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$ -> 法向差值
    • $$E_{1t} = E_{2t}$$ -> 切向相等

    • tan⁡α1tan⁡α2=ε1ε2\frac{\tan\alpha_1}{\tan\alpha_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}

1-4

  1. 唯一性定理
    • 指的是根据某一点的电荷密度，根据泊松方程和拉普拉斯方程，能算出唯一的电位
    • 电荷密度 -> 电位
    • 推导

      • ∇⋅D=ρ\nabla\cdot D = \rho

      • D=εED = \varepsilon E

      • E=−∇φE = -\nabla\varphi

        • ρε=−∇⋅(ε∇φ)=−∇2φ\frac{\rho}{\varepsilon} = -\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\varphi) = -\nabla^2\varphi

  2. 边值问题
    • 已知边界电位情况
    • 已知边界电位变化情况
    • 1+2
      • 为什么要知道边值，因为知道后可以根据唯一性定理确定区域电位，如果区域无限小，可以确定每一点的电位
      • 用唯一性定理那写的公式能求出来

1-7

  1. 镜像法
    1. 点电荷对带电无限大导体平面
      • 对称位置假设一个-q的电荷，然后正常求
    2. 点电荷对两种介质
      • 两种介质介电常数 ε₁，ε₂
      • 假设
        • 一个全为ε₁介质：原位置 q₀，对称 q₁
        • 一个全为ε₂介质，对称 q₂
        • 算距离原位置 r 的电荷受到的场强

          • q1=ε1−ε2ε1+ε2q0q_1 = \frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q_0

          • q2=2ε2ε1+ε2q0q_2 = \frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q_0

    3. 点电荷对接地导体球
      • 导体球半径：R
      • 球电荷间距：d
      • 等效电荷距离球心距离：b

        • b=R2db = \frac{R^2}{d}

      • 等效电荷电荷量：q₁

        • q1=Rqdq_1 = \frac{Rq}{d}

  2. 电轴法
    • 用于两根圆柱导体情况下的电场，当圆心间距远远大于圆柱半径时，可忽略圆半径
    • 圆心间距：2h
    • 圆柱半径：a
      • 假设：两个圆柱连线上有两根等效细导线
        • 导线间距 2b

      1. a2+b2=h2a^2 + b^2 = h^2

        • 这个各个半边都适用
        • 如果两个圆柱的半径不相等，尤其要注意
      2. 电位 = $$\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b-(h-a)}{b+(h-a)}$$ 或 $$\frac{\tau}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{b+(h-a)}{b-(h-a)}$$
        • τ 为线电荷密度，与 b、h-a 有关

1-8

  1. 电容

    • C=QU=D⋅SE⋅L=∮εE⋅dS∮E⋅dlC = \frac{Q}{U} = \frac{D\cdot S}{E\cdot L} = \frac{\oint\varepsilon E\cdot dS}{\oint E\cdot dl}

      • ε已知，S,L是积分的区域，求电容也就是求积分区域的 E
    • 求解方法
      • 假设 Q
        • Q -> D -> E -> U -> C
      • 假设 U
        • U -> 电位 -> E -> D -> Q -> C

1-9

  1. 静电能量
    • 计算：外力做功
    • 说明：在线性介质中，电场能量只与状态有关
    • 关系：电场能量 -> 电位 -> 电荷密度，一一相关

    • W=12qφW = \frac{1}{2}q\varphi

  2. 能量密度
    • $$w = \frac{1}{2}\varphi\rho$$（电荷密度 × 电位的一半）

      • w=12E⋅Dw = \frac{1}{2}E\cdot D

    • 算的时候要注意：源本身具有能量，源外也有能量，要分两个区域都算出来
  3. 静电力
    • 虚功计算
      • 外部做功 = 静电能量 + 静电力做功
        1. 假设：带电体的带电量不变
          • 外部做功 = 0：静电能量 = -静电力做功
        2. 假设：系统电位不变
          • 静电能量 = 0：外部做功 = 静电力做功
    • 结论
      • f = w/g
        • w指的是能量
        • g指的是位移
      • 平行板电容器

        • w=12CU2=Q22Cw = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{Q^2}{2C}

        • C=εSdC = \frac{\varepsilon S}{d}

          • f=Q22C2⋅dCdgf = \frac{Q^2}{2C^2}\cdot\frac{dC}{dg}

          • f=U22⋅dCdgf = \frac{U^2}{2}\cdot\frac{dC}{dg}

结论

电场强度/电位

点球类

  1. 点电荷
    • 场强：$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
    • 电位：$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$
  2. 空心球壳（半径a）
    • 球壳内
      • 场强：$$E = 0$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}$$
    • 球壳外
      • 场强：$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$
  3. 实心球（半径a）
    • 球内
      • 场强：$$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{\rho r^2}{6\varepsilon_0}$$
    • 球外
      • 场强：$$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$
    • 电荷量：$$q = \frac{4\pi a^3\rho}{3}$$
      • 这里的ρ指的是体密度

线柱类

  1. 无限长直导线
    • 场强：$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
    • 电位：$$\varphi = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r$$
  2. 空心圆柱（半径a）
    • 柱面内
      • 场强：$$E = 0$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln a$$
    • 柱面外
      • 场强：$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r$$
  3. 实心圆柱（半径a）
    • 柱内
      • 场强：$$E = \frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0 a^2}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{\lambda r^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$$
    • 柱外
      • 场强：$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$
      • 电位：$$\varphi = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r$$

面类

  • 这里的σ指的是面密度
  1. 无限平面
    • 场强：$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$
    • 电位：$$\varphi = \frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}$$（取平面处 φ=0，x 为到平面的距离）
  2. 圆面（半径a）
    • 中心线场强：$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right)$$
    • 中心线电位：$$\varphi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{x^2+a^2} - x\right)$$

极化

  1. 极化源外侧是无限大介质
    • 介质无限大，极化电荷体密度=0
  2. 公式理解

    • E⋅S=q0+q极化ε0E\cdot S = \frac{q_0 + q_{极化}}{\varepsilon_0}

    • E⋅S=q0εE\cdot S = \frac{q_0}{\varepsilon}

      • q0+q极化q0=ε0ε\frac{q_0 + q_{极化}}{q_0} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}

        • q极化=qεε0−qq_{极化} = q\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} - q

    • 极化电荷一般是比极化源少的负电荷

假设

  1. 假设电量/电荷密度时，只假设导体区域，介质区域=0

问题：

常规场强/电位求取

  1. 场强：
    • 点电荷场强积分

    • E⋅S=qεE\cdot S = \frac{q}{\varepsilon}

    • ∇φ=−E\nabla\varphi = -E

  2. 电位
    • 场强在长度上积分

    • ∇2φ=−ρε\nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}

      • 对电荷密度进行积分

分界面衔接条件

  1. 分界面，两个面电极化强度不同
  2. 电极板，两部分电极化强度不同

边值问题

  1. 球/套壳
  2. 电极板
  • 一般知道两处电压差
    • 设电荷密度/电荷量
      • 知道电荷密度，可以二次积分求电位
        • 电位可以表示电压
          • 根据边界情况的电压求出未知数，进而表示电位
            • 根据电位，积分一次求出场强

镜像法

  1. 一个电荷和一个无限大的面
    • 直接对称一个负电荷，然后看作两个电荷作用，分界面不管
      • 注意：只能求源电荷区域的场强和电位，镜像电荷所在区域的求不了
      • 镜像电荷所在区域的电场强度和电位=0，介电常数=0
  2. 一个电荷和两个介电常数不一样的面(该电荷在一个面)
    • 分两块
      • 源电荷所在区域的介电常数：源电荷+镜像电荷1 -> 只求源电荷所在区域的场强和电位
      • 镜像电荷所在区域介电常数: 镜像电荷2(位置在源电荷位置) -> 只求镜像电荷所在区域的场强和电位

电轴法

  1. 两个圆柱
    • 在两个圆柱的圆心连线上等效两个无限长直导线
    • 参数
      • 圆心半径：a
      • 圆心距离对称轴：h
      • 等效点距离对称轴：b
    • 公式：$$a^2 + b^2 = h^2$$

电容

电场能量和电场力

老师的例题

1. 求场强(√)

  • 长度2l，电荷密度t的导线，求距离导线一段l的点的场强
    • 积分法求电场

2. 求场强(√)

  • 长度2l，电荷密度t的导线，求与导线中心垂直的方向上距离x的点的场强
    • 积分法求电场

3. 证明(√)

  • 证明 E=−∇φE = -\nabla\varphi
    • 对电位求梯度，求法与求导一样
      • 中间要用到xyz坐标系

4. 求场强，电位(√)

  • 半径a，电荷密度ρ的圆盘，中心轴线上距离圆盘中心x的点的场强和电位
    • 积分求电位

5. 知道U，求场强(√)

  • 有U，说明有电荷，有U就有电荷
  • 圆柱心是导体，外套两层介质，介电常数分别为e1，e2，三层的半径分别是a，b，c,求E
    • 设电荷量，E*S = q，求E，再用El=电位，表示出U，用U表示q，来表示各个E

6. 分界面衔接条件(√)

  • 两个面，介电常数分别为 2ε₀、7ε₀、7ε₀，电位为 10x+2y2\frac{10}{x} + 2y^2，求两个区域的 E、D
    • 根据折射定律算就行

7. 边界条件，知道U，求场强(√)

  • 平行板电容器间，一侧U，一侧0，中间介电常数e，自由电荷密度ρ，求E
    • 知道边界，知道电荷密度和介电常数

8. 边界条件，知道U，求场强(√)

  • 两块平行板电容器，电压(U,未知，0)，介电常数(e1,e2),电荷密度(ρ1，ρ2)，求场强
    • 同7

9. 叠加法求场强(√)

  • 一个圆柱，内掏了一个圆柱，电荷体密度为ρ，求挖空部分的边缘上任意一点的场强
    • 叠加法

10. 镜像法(√)

  • q，高h，7e0，对称面e0，求：q受到的作用力，镜像位置的E和D
    • 套公式

11. 镜像法(√)

  • 可以看作q对无限大平面+接地导体球的镜像
    1. q对无限大平面的镜像：
      • 对称位置一个q1
    2. q对接地导体球的镜像：
      • 点球连线上一个q2
    3. q2对接地导体球的镜像：
      • q2的对称位置
    • 三处一起决定原q受到的E

12. 求电容(√)

  • 会设电量求就行，其他的不管
  • 两层圆柱，半径内a外b，圆柱长l，ab间介电常数e，求电容
    • 假设时：只假设导体区域

13. 求电场能量(√)

  • 由 w=12E⋅Dw = \frac{1}{2}E\cdot D 入手
  • 知道e,求出E就行
  • 真空，半径为a的球，介电常数e，电荷密度ρ，求能量
    • 分两部分，球内，球外，$$\frac{1}{2}\varepsilon E^2$$

14. 求电场力(√)

  • 平行电极板，电压差U

最后编辑于 2026-10-08

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