2、3阶行列式

1. 行列式是一个数
2. 克莱姆法则

n阶行列式

1. n阶数组
   • 1~n组成的有序数组
     • 不能缺少中间数字
     • n！种排序
2. 逆序
   • 数组中，index小的数比index大的数大表示1个逆序
3. 奇偶排列
   • 看逆序奇偶，逆序是啥就是啥
4. 对换
   • 将一个排列中两个数互换位置，可以获得一个新排列
     • 对换后奇偶性改变一次
5. n阶排列共有n！，奇偶各占一半
6. n阶行列式
   • n个n阶数组组成的行列式
   • 按行展开/按列展开/乱序
     • 无论哪种，判断符号时都是看逆序，乱序时看行逆序+列逆序
   • 每个加数项前的符号根据逆序来判断：
     • 逆序为偶，则为+
     • 逆序为奇，则为-
   • 计算时，按行展开，则行角标顺序一致：1-n，列角标算逆序，反之亦然
     • 不管按什么展开，你的每一项都能相互转换
7. 特殊行列式
   1. 某行/某列全为0
      • 结果一定为0
   2. 三角行列式
      • 上三角/下三角/对角行列式 = 对角线乘积
      • 副三角 = 对角线 * (-1)^[n(n-1)/2]

行列式的性质

1. 转置
   • 行列互换就叫转置，D(T)
   • 性质1：D = D(T)
   • 性质2：交换两行，D(change) = -D
     • 推论1：行列式中两行/列元素完全一样，行列式=0
     • 推论2：行列式中两行/列元素成比例，行列式=0
     • 注意：可以推导出结果=0的行列式，原行列式不一定是那几个结论
   • 性质3：如果某一行可以写成两数之和，那么该行列式可以基于该行拆分成两个行列式
   • 性质4：把一行*k加到别的行，行列式结果不变
     • 用于形成三角式来计算
2. 对称行列式
   • 沿主对角线对称：Aij = Aji
   • 反对称行列式：
     • 主对角线=0，Aij = -Aji

行列式按行展开

1. 余子式
   • 把所选Aij的行列去掉，剩下的拼起来的行列式
   • 代数余子式：(-1)^(i+j) * 余子式
   • 行列式 = 求和(Aij * 代数余子式)
   • 这一行元素与零一行的代数余子式相乘=0

行列式按多行展开

1. k阶子式
   • 选k行和k列，交叉那部分就是k阶子式N
   • 剩下的是代数余子式，符号由所有元素的i+j决定
   • 行列式 = 求和(N * 代数余子式)
2. 拉普拉斯定理
   • 行列式特殊格式有结论，可以类似2阶行列式一样的运算

克莱姆法则

1. 应用条件：方程的个数 = 未知数的个数
2. 系数 != 0
3. 计算
   • 分子：系数行列式
   • 分母：系数替换行列式
4. 齐次方程组，D != 0，无非0解